Question

已知二次函数y=-x²+2x+3图象的对称轴为直线．
（1）请求出该函数图象的对称轴；
（2）在坐标系内作出该函数的图象；
（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=-x²+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．

Answer 1

考点：二次函数的性质,二次函数的图象

专题：

分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；
（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；
（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．

解答：解：（1）x=-

b

2a

=-

2

2×(-1)

=1；
（2）图象                                  
（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）
当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点
所以直线x=1为所求直线                            
当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，
令-x²+2x+3=kx+b
整理得-x²+（2-k）x+3-b=0由题意得△=（2-k）²+4（3-b）=0
即：k²-4k+16-4b=0
又因为y=kx+b，过点p（1，5）
所以5=k+b
所以k²-4=0
解得k=±2，
当k=2时，b=3；
当k=-2时，b=7
所以解析式为y₁=2x+3，y₂=-2x+7，
所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y₁=2x+3，y₂=-2x+7．

点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=-

b

2a

．