Question

已知，一次函数y=

1-kx

k+1

（k是不为0的自然数，且是常数）的图象与两坐标轴所围成的图形的面积为S_k（即k=1时，得S₁，k=2时，得S₂，┅）．试求S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₆的值．

Answer 1

考点：一次函数图象上点的坐标特征

专题：规律型

分析：求出函数与坐标轴的交点，根据面积=

1

2

|x||y|可得出面积关于k的表达式，继而能得出S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₆的值．

解答：解：由题意得，一次函数y=

1-kx

k+1

的图象与两坐标轴的交点为（

1

k

，0）、（0，

1

k+1

），
所围成的图形的面积为Sk=

1

2

•

1

k

1

k+1

=

1

2

•

1

k(k+1)

．
则S₁+S₂+S₃+…+S₂₀₀₆
=

1

2

•

1

1×2

+

1

2

•

1

2×3

+

1

2

•

1

3×4

+…+

1

2

•

1

2006×2007

=

1

2

(

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

2006×2007

)
=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

2006

-

1

2007

)
=

1

2

(1-

1

2007

)
=

1003

2007

．

点评：本题考查一次函数图象上点的坐标特征与三角形的面积，有一定难度，关键是表示出S_k的表达式．