Question

20．四边形ABCD中，AD=CD，AB=15，AC=12，BC=9，∠ACB=90°．
（1）求△ABC的周长；
（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，点P是射线DE上的动点．设DP=x．
①求四边形BCDP的面积（用含x的代数式表示）；
②△PBC的周长是否存在最小值？若存在求出它的最小值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）三角形的周长等于各边长之和；
（2）①先证明DE∥BC，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明AE=CE，最后利用梯形的面积公式求解即可；②先证明DE是AC的垂直平分线，故此可知PC=PA，当点A、P、B在同一条直线上时，三角形的周长有最小值，最小值=BC+AB．

解答 解：（1）△ABC的周长=AB+BC+AC=15+9+12=36；
（2）①∵DE⊥AC，BC⊥AC，
∴DE∥BC．
∵AD=CD，DE⊥AC，
∴AE=EC=6．
由梯形的面积公式可知：四边形BCDP的面积=$\frac{1}{2}（PD+BC）•EC$=$\frac{1}{2}×（x+9）×6$=3x+27；
②如图所示：

∵DE⊥AC，AE=EC，
∴DE是AC的垂直平分线．
∴PC=PA．
△PCB的周长=BC+PB+PC=BC+PB+PA．
由两点直线线段最短可知：当点A、P、B在一条直线上时，AP+PB有最小值．
∴△PCB的周长的最小值=BC+AB=6+15=21．

点评 本题主要考查的是等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质和判定、两点之间线段最短，明确当点A、P、B在一条直线上时三角形的周长有最小值是解题的关键．