Question

13．解决下面问题：
（1）阅读理解：如图①，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，2）连接OA并延长OA至A′，使OA′：OA=3：1，则点A′的坐标为（3，6）；
（2）活动探索：（在下图中分别作出对应的图形，不要求用尺规作图）
活动一：如图②，在平面直角坐标系中，点T（1，1）、点E（2，3），连接TE并延TE长至点E′，使T E′：TE=3：1，则点E′的坐标为（4，7）；
活动二：如图③，在平面直角坐标系中，点W（2，3）、点G（3，5），连接WG并延长WG至点G′，使WG′：WG=4：1，则点G′的坐标为（6，11）；
（3）归纳猜想：
在平面直角坐标系中，若点M（a，b）、点P（x，y），连接MP并延长MP至点P′，使MP′：MP=n：1，则点P′的横坐标为nx-na+a，纵坐标为ny-nb+b．（用a，b，x，y，n表示，其中0＜a＜x，0＜b＜y，n为大于1的正整数）

Answer 1

分析 根据第一问给出的信息，我们很容易对第二问和第三问进行解答，第二问根据题目中的信息作出相应的图形，从而可以写出E′和G′的坐标；根据第二问对第三问进行猜想，得出P′的坐标．

解答 解：根据第一问可得，
（2）活动一中，点E′的坐标为（4，7），如下图所示：

∵在平面直角坐标系中，点T（1，1）、点E（2，3），T E′：TE=3：1，
设E′的坐标为（x，y）．
∴$\frac{x-1}{2-1}=\frac{3}{1}，\frac{y-1}{3-1}=\frac{3}{1}$．
解得，x=4，y=7．
故点E的坐标为（4，7）．
活动二中，点G′的坐标为（6，11），如下图所示：

∵在平面直角坐标系中，点W（2，3）、点G（3，5），WG′：WG=4：1，
设点G′的坐标为（x，y）．
∴$\frac{x-2}{3-2}=\frac{4}{1}，\frac{y-3}{5-3}=\frac{4}{1}$．
解得，x=6，y=11
∴点G′的坐标为（6，11）．
（3）∵在平面直角坐标系中，点M（a，b）、点P（x，y），MP′：MP=n：1，其中0＜a＜x，0＜b＜y，
设点P′的坐标为（h，k）．
∴$\frac{h-a}{x-a}=\frac{n}{1}，\frac{k-b}{y-b}=\frac{n}{1}$．
解得，h=nx-na+a，k=ny-nb+b

点评 本题考查坐标和图形的相关知识，关键是明确图形变化之后对应边的比，根据对应边的比相等，求出相应的点的坐标．