Question

3．如图，已知△ABC和△ABD，∠CAB=∠DBA=90°，BC=5，BD=8，∠CBD=2∠ADB，则AD的长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 在BD上E，截取BE=AC，证得△ABE≌△BAC，得出AE=BC=5，∠AEB=∠ACB，再利用AC∥BD和∠CBD=2∠ADB证得DE=AE=5，求得BE．进一步利用勾股定理解决问题．

解答 解：如图，

在BD上E，截取BE=AC，
∵在△ABE和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{∠ABE=∠BAC=90°}\\{BE=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△BAC，
∴AE=BC=5，∠AEB=∠ACB，
∵∠CAB=∠DBA=90°，
∴AC∥BD，
∴∠ACB=∠CBD，
∴∠AEB=∠CBD，
∵∠CBD=2∠ADB，
∴∠AEB=2∠ADB=∠ADB+∠DAE，
∴∠DAE=∠ADB，
∴EA=ED=5，
∴BE=BD-DE=8-5=3，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}-B{E}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴AD=$\sqrt{A{B}^{2}+B{D}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{8}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
故答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 此题考查三角形全等的判定与性质，勾股定理的运用，平行线的判定与性质，正确作出辅助线，构造三角形全等是解决问题的关键．