Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，边AB的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AD平分∠BAC．
（1）求∠B的度数；
（2）求证：CD=$\frac{1}{3}$BC；
（3）若AC=2，点P是直线AD上的动点，求|PB-PC|的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠BAD=∠B，然后利用直角三角形两锐角互余列式求出∠CAD=∠BAD=∠B=30°；
（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AD=2CD，根据AD=BD，从而得出BD=2CD，得出BC=BD+CD=3CD，即可证得CD=$\frac{1}{3}$BC；
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，作直线BC′交AD于P，此时|PB-PC|的值最大，最大值为AC的长．

解答 解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠BAD=∠B，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAD，
∵∠C=90°，
∴∠B+2∠B=90°，
∴∠B=30°．
（2）∵∠CAD=∠BAD=∠B=30°，
∴AD=2CD，
∵AD=BD，
∴BD=2CD，
∴BC=BD+CD=3CD，
∴CD=$\frac{1}{3}$BC；
（3）作C点关于直线AD的对称点C′，
∵AD平分∠BAC．
∴C′在直线AB上，连接BC′的直线就是AB，
∴P点就是A点，
此时|PB-PC|的最大值为AC′，
∵AC=AC′，
∴|PB-PC|的最大值=2．

点评 本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等边对等角的性质，轴对称的性质以及三角形的内角和定理，熟记各性质是解题的关键．