如图(1).在正方形ABCD中.E是AB上一点.F是AD延长线上一点.且DF=BE．容易证得:CE=CF,(1)在图1中.若G在AD上.且∠GCE=45°．试猜想GE.BE.GD三线段之间的数量关系.并证明你的结论．中解答所积累的经验和知识.完成下面两题:①如图(2).在四边形ABCD中∠B=∠D=90°.BC=CD.点E.点G分别是AB边.AD边上的动点．若∠BCD=α°.∠ECG=� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．如图（1），在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．容易证得：CE=CF；
（1）在图1中，若G在AD上，且∠GCE=45°．试猜想GE、BE、GD三线段之间的数量关系，并证明你的结论．
（2）运用（1）中解答所积累的经验和知识，完成下面两题：
①如图（2），在四边形ABCD中∠B=∠D=90°，BC=CD，点E，点G分别是AB边，AD边上的动点．若∠BCD=α°，∠ECG=β°，试探索当α和β满足什么关系时，图（1）中GE、BE、GD三线段之间的关系仍然成立，并说明理由．
②在平面直角坐标中，边长为1的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图（3））．设△MBN的周长为p，在旋转正方形OABC的过程中，p值是否有变化？若不变，请直接写出结论．

分析（1）利用正方形的性质和∠GCE=45°，求出∠GCD+∠BCE=45°，得出∠ECG=∠FCG，再根据△EBC≌△FDC，然后证出△ECG≌△FCG，即可得出结论；
（2）①当α=2β时，（1）中的三角形的全等关系即可证明是成立的；
②根据（1）的证明．可以得到：AM+CN=MN，据此即可证明△MNP的周长等于正方形边长的2倍，据此即可求解．

解答解：（1）∵在△EBC和△FDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=BE}\\{∠FDC=∠EBC}\\{BC=DC}\end{array}\right.$
∴△EBC≌△FDC，
∴∠DCF=∠BCE，
∵∠GCE=45°，
∴∠BCE+∠DCG=90°-45°=45°，
即∠DCG+∠DCF=45°，
∴GC=GC，ECG=∠FCG，
在△ECG和△FCG中，
$\left\{\begin{array}{l}{GC=GC}\\{∠ECG=∠FCG}\\{CF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ECG≌△FCG，
∴EG=GF，即GE=BE+GD．

（2）①α=2β．
如图，

延长AD到F点，使DF=BE，连接CF，可证△EBC≌△FDC，
则∠BCE+∠DCG=∠GCF，由α=2β可知∠ECG=∠GCF，
可证△ECG≌△FCG，
故EG=GF，即GE=BE+GD．

②在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．
证明：如图，

延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AOE=∠CON}\\{OA=OC}\\{∠EAO=∠NCO=90°}\end{array}\right.$．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中
$\left\{\begin{array}{l}{OE=ON}\\{∠EOM=∠NOM=45°}\\{OM=OM}\end{array}\right.$．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2．
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．