Question

3．已知：直线y=$\frac{k}{2}$x+2k交x轴于点B，交y轴于点C，点D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$），抛物线y=-$\frac{3}{4}$x²+bx+c过B、C、D三点．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点M在BC延长线上，CM=CD，求点M坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为第二象限抛物线上一点，过点P作PF⊥BC于点F，交x轴于点E，连接CE，当∠PEC=2∠OBC时，连接PD并延长交直线BC于点Q，将△DMQ以点D为旋转中心顺时针旋转90°，点M、Q的对应点分别是G、H，连接GB、HB求△GHB的面积．

Answer 1

分析 （1）先求出点B坐标，把B、D两点坐标代入抛物线解析式解方程组即可．
（2）如图1中，求出CD的长，作MN⊥x轴于N，由MN∥CO得$\frac{CO}{MN}$=$\frac{BC}{BM}$=$\frac{BO}{BN}$，求出MN，BN即可解决问题．
（3）如图3中，作FK⊥OB于K，OT⊥BC于T，连接OF，先证明OT平分∠COF，利用△OTC∽△BOC得$\frac{CT}{CO}$=$\frac{CO}{BC}$，求出CT，CF，由FK∥CO得$\frac{FK}{CO}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BK}{BO}$，由此求出点F坐标，再求出直线PE，列方程组求出点P坐标，发现PQ∥x轴，求出点Q坐标，再说明△DMQ绕点D顺时针旋转90°后得到△DGH，点G在线段BC上，点H在x轴上，DH⊥OB，最后求出BG，GH的长即可解决问题．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{k}{2}$x+2k交x轴于点B，令y=0得x=-4，
∴点B坐标（-4，0），
把B（-4，0），D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$）代入抛物线解析式得$\left\{\begin{array}{l}{-12-4b+c=0}\\{-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}b+c=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-\frac{5}{2}}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{3}{4}$x²-$\frac{5}{2}$x+2．
（2）如图1中，∵点C（0，2）在直线y=y=$\frac{k}{2}$x+2k上，∴2k=2，k=1，
∴直线BC为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∵CD=$\sqrt{（\frac{2}{3}）^{2}+（\frac{10}{3}-2）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，BC=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
作MN⊥x轴于N，
∵MN∥CO，
∴$\frac{CO}{MN}$=$\frac{BC}{BM}$=$\frac{BO}{BN}$，
∴$\frac{2}{MN}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\frac{8\sqrt{5}}{3}}$=$\frac{4}{BM}$，
∴MN=$\frac{8}{3}$，NB=$\frac{16}{3}$，ON=BN-OB=$\frac{4}{3}$
∴点M坐标（$\frac{4}{3}$，$\frac{8}{4}$）．
（3）如图2中，作FK⊥OB于K，OT⊥BC于T，连接OF．
∵∠EFC=90°，∠EOC=90°，
∴∠EFC+∠EOC=180°，
∴E、F、C、O四点共圆，
∴∠FEC=∠FOC=2∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，∠COT+∠BCO=90°，
∴∠COT=∠CBO，
∴∠TOC=∠TOF，
∵∠TFO+∠TOF=90°，∠TCO+∠TOC=90°，
∴∠TFO=∠TCO，
∴OF=OC=2，
∵∠OTC=∠BOC，∠TCO=∠BCO，
∴△OTC∽△BOC，
∴$\frac{CT}{CO}$=$\frac{CO}{BC}$，
∴CT=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴GC=2TC=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵FK∥CO，
∴$\frac{FK}{CO}$=$\frac{BF}{BC}$=$\frac{BK}{BO}$，
∴$\frac{FK}{2}$=$\frac{\frac{6\sqrt{5}}{5}}{2\sqrt{5}}$=$\frac{BK}{4}$
∴FK=$\frac{6}{5}$，BK=$\frac{12}{5}$，KO=OB-BK=$\frac{8}{5}$，
∴点F坐标（-$\frac{8}{5}$，$\frac{6}{5}$），
∵PF⊥BC，直线BC为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴可以假设直线PE为y=-2x+b，点F代入得到b=-2，
∴直线PE为y=-2x-2，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x-2}\\{y=-\frac{3}{4}{x}^{2}-\frac{5}{2}x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{8}{3}}\\{y=\frac{10}{3}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∵点P在第二象限，
∴点P坐标（-$\frac{8}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∵点D（-$\frac{2}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∴PD∥x轴，
∴点Q坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{10}{3}$），
∴PD=2，DQ=$\frac{10}{3}$，
∵直线DC为y=-2x+2，直线BC为y=$\frac{1}{2}$x+2，
∴DC⊥BC，
∵DC=CM，
∴△DCM是等腰直角三角形，
∴∠DMC=45°，∠DMQ=135°，
∴△DMQ绕点D顺时针旋转90°后得到△DGH，点G在线段BC上，
∵DQ=$\frac{10}{3}$，点D纵坐标为$\frac{10}{3}$，
∴点H在x轴上，DH⊥OB，
∵∠DGM=∠DMG=45°，∠DGH=∠DMQ=135°，
∴∠HGQ=90°，
∵BG=BC-CG=2$\sqrt{5}$-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，QC=$\sqrt{（\frac{8}{3}）^{2}+（\frac{10}{3}-2）^{2}}$=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$，
∴GH=MQ=CQ-CM=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$-$\frac{2\sqrt{5}}{3}$=$\frac{2\sqrt{5}}{3}$，
∴S_△BGH=$\frac{1}{2}$•BG•GH=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}}{3}$×$\frac{2\sqrt{5}}{3}$=$\frac{20}{9}$．

点评 本题考查二次函数、一次函数的有关知识、旋转变换、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定和性质等知识，发现△OFC是等腰三角形是解题的关键，学会利用方程组求两个函数图象的交点坐标，第三个问题求出点P坐标是解题的关键，题目比较难需要正确画出图形，是数形结合的好题目．