Question

1．已知a、b、c都是有理数，且a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=-3，而a+b+c≠0，试求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$的值．

Answer 1

分析 先将a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=-3去掉括号，然后化简即可求出原式的值．

解答 解：∵a（$\frac{1}{b}$+$\frac{1}{c}$）+b（$\frac{1}{c}$+$\frac{1}{a}$）+c（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}{b}$）=-3，
∴$\frac{a}{b}+\frac{a}{c}$+$\frac{b}{c}$+$\frac{b}{a}$+$\frac{c}{a}+\frac{c}{b}$+3=0，
∴$\frac{a+b}{c}+\frac{b+a}{a}+\frac{a+c}{b}$+3=0，
∴$\frac{a+b}{c}$+1+$\frac{b+a}{a}$+1+$\frac{a+c}{b}$+1=0，
∴$\frac{a+b+c}{c}$+$\frac{a+b+c}{a}$+$\frac{a+b+c}{b}$=0，
∵a+b+c≠0，上式两边同时除以a+b+c，
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$=0

点评 本题考查分式的混合运算，解题的关键是将原式的括号去掉，然后将3拆分，本题属于中等题型．