Question

【题目】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．

（1）求证：∠ABD=∠ACD．

（2）试判断直线AD与线段BC的关系并加以证明．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD垂直平分BC．

【解析】

（1）作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，可得出Rt△BDE≌Rt△CDF，由全等三角形的性质即可得出结论；

（2）由等腰三角形的性质得出∠DBC=∠DCB，进而得到∠ABC=∠ACB，由等角对等边得到AB=AC，再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出结论．

（1）如图，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

∵AD平分∠BAC，∴DE=DF．在Rt△BDE和Rt△CDF中，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴∠ABD=∠ACD；

（2）AD垂直平分BC．理由如下：

∵BD=CD，∴∠DBC=∠DCB．

∵∠ABD=∠ACD，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC．

∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC．