Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB的平分线分别交⊙O、AB于点D、E，延长AB使PC=PE．
（1）求AD的长．
（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：计算题

分析：（1）先根据勾股定理计算出AB=10cm，再利用角平分线定义得∠ACD=∠BCD=45°，则利用圆周角定理得到∠BAD=∠ABD=45°，于是可判断△ABD为等腰直角三角形，然后利用AD=

2

2

AB进行计算；
（2）连结OC，如图，由PE=PC得∠PCE=∠PEC，则∠PCE=∠1+45°，利用三角形的外角性质得∠PEC=∠2+∠ACE=∠2+45°，则∠2=∠1，加上∠2=∠3，所以∠1=∠3，易得∠1+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，所以根据切线的判定定理得到PC为⊙O的切线．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，
∴AB=

AC2+BC2

=10cm，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴∠BAD=∠ABD=45°，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD=

2

2

AB=5

2

cm；
（2）直线PC与⊙O相切．理由如下：
连结OC，如图，
∵PE=PC，
∴∠PCE=∠PEC，
∵∠PCE=∠1+∠BCE=∠1+45°，∠PEC=∠2+∠ACE=∠2+45°，
∴∠2=∠1，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
而∠3+∠OCB=90°，
∴∠1+∠OCB=90°，即∠OCP=90°，
∴OC⊥PC，
∴PC为⊙O的切线．

点评：本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．