Question

已知正比例函数y₁=k₁x和一次函数y₂=k₂x+b的图象交于点A（3，4），一次函数与y轴相交于点B，O为坐标原点，且△AOB是以OA为腰的等腰三角形．
（1）求正比例函数解析式；
（2）求一次函数解析式和△AOB面积．

Answer 1

考点：两条直线相交或平行问题

专题：计算题

分析：（1）把A点坐标代入y₁=k₁x可计算出k₁=

4

3

，从而得到正比例函数解析式；
（2）先利用勾股定理计算出AB=5，再分类讨论：当OB=OA时，则B点坐标为（0，5）或（0，-5），利用待定系数法求经过B（0，5）和A（3，4）的一次函数解析式，然后计算S_△AOB；同样求经过点B（0，-5）和A（3，4）的一次函数解析式，计算S_△AOB；当AB=AO时，B点坐标为（0，8），然后利用待定系数法求经过B（0，8）和A（3，4）的一次函数解析式为y₂=-

4

3

x+8，再计算S_△AOB．

解答：解：（1）把A（3，4）代入y₁=k₁x得3k₁=4，解得k₁=

4

3

，
所以正比例函数解析式为y₁=

4

3

x；
（2）∵A（3，4），
∴OA=

32+42

=5，
当OB=OA时，B点坐标为（0，5）或（0，-5），
把B（0，5）和A（3，4）代入y₂=k₂x+b得

b=5 3k2+b=4

，解得

k2=- 1 3 b=5

，此时一次函数解析式为y₂=-

1

3

x+5，S_△AOB=

1

2

×5×3=

15

2

；
把B（0，-5）和A（3，4）代入y₂=k₂x+b得

b=-5 3k2+b=4

，解得

k2=3 b=-5

，此时一次函数解析式为y₂=3x-5，S_△AOB=

1

2

×5×3=

15

2

；
当AB=AO时，B点坐标为（0，8），
把B（0，8）和A（3，4）代入y₂=k₂x+b得

b=8 3k2+b=4

，解得

k2=- 4 3 b=8

，此时一次函数解析式为y₂=-

4

3

x+8，S_△AOB=

1

2

×8×3=12．

点评：本题要求利用图象求解各问题，要认真体会点的坐标，一次函数与一元一次方程组之间的内在联系．