Question

如图，已知抛物线y=x²-3x经过B（4，4）．将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求m的值及点D的坐标．

Answer 1

考点：二次函数的性质,一次函数图象与几何变换

专题：数形结合

分析：根据已知条件可求出OB的解析式为y=x，则向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标．

解答： 解：设直线OB的解析式为y=k₁x，
由点B（4，4），得：4=4k₁，
解得：k₁=1
∴直线OB的解析式为y=x，
∴直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x-m，
∵点D在抛物线y=x²-3x上，
∴可设D（x，x²-3x），
又∵点D在直线y=x-m上，
∴x²-3x=x-m，即x²-4x+m=0，
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴△=16-4m=0，
解得：m=4，
此时x₁=x₂=2，y=x²-3x=-2，
∴D点的坐标为（2，-2）．

点评：本题考查了一次函数（直线）的平移、一元二次方程根的判别式等重要知识点．本题难度不大，数形结合是关键．