Question

已知矩形纸片ABCD中，AB=1，BC=，将该纸片叠成一个平面图形，折痕EF不经过A点（E、F是该矩形边界上的点），折叠后点A落在A′处，给出以下判断：

①当四边形A^，CDF为矩形时，EF=；

②当EF=时，四边形A′CDF为矩形；

③当EF=2时，四边形BA′CD为等腰梯形；

④当四边形BA′CD为等腰梯形时，EF=2。

  其中正确的是         （把所有正确结论序号都填在横线上）。

Answer 1

①③④。

【考点】折叠问题，折叠对称的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，等腰梯形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。

【分析】根据相关知识逐一作出判断：

①∵AB=1，BC=，

∴如图1，当四边形A′CDF为矩形时，CD= A′F=1，A′F⊥BC。

根据折叠的性质A′E=AB=1。

∴根据勾股定理得EF=。判断①正确。

②当EF=时，由①知，只要E、F分别在边BC、AD上，且EF与BC成45⁰角即可，此时的EF与①中的EF平行即可，这时，除①的情况外，其它都不构成矩形。判断②错误。

③当EF=2时，

由勾股定理知BD=2，∴此时，EF与BD重合。

由折叠对称和矩形的性质知，CD=AB= A′B，且CD与 A′B不平行。

④当四边形BA′CD为等腰梯形时，由A′B=CD，∠A′BD=∠CDB=∠ABD，知点A′是点A关于BD的对称点，即A′是点A沿BD折叠得到，所以，EF与BD重合，EF=BD=2。判断④正确。

综上所述，判断正确的是①③④。