Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O与AB边交于点D，过点D的切线交BC于点E．
（1）求证：EB=EC；
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ODEC是正方形？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）利用EC为⊙O的切线，ED也为⊙O的切线可求EC=ED，再求得EB=EC，EB=ED可知点E是边BC的中点；
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形，由等腰三角形的性质，得到∠ODA=∠A=45°，于是∠DOC=90°然后根据有一组邻边相等的矩形是正方形，即可得到结论．

解答 解：
（1）证明：连接CD，
∵AC是直径，∠ACB=90°，
∴BC是⊙O的切线，∠ADC=90°．
∵DE是⊙O的切线，
∴DE=CE（切线长定理）．
∴∠DCE=∠CDE，
又∵∠DCE+∠EBD=∠CDE+∠EDB=90°，
∴∠EBD=∠EDB．
∴DE=BE，
∴CE=BE．
（2）当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ODEC是正方形．理由如下：
∵△ABC是等腰直角三角形．
∴∠B=45°，
∴∠DCE=∠CDE=45°，则∠DEB=90°，
又∵OC=OD，∠ACB=90°，
∴∠OCD=∠ODC=45°，
∴∠ODE=90°，
∴四边形ODEC是矩形，
∵EC=ED，
∴四边形ODEC是正方形．

点评 本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．