Question

8．如图l，△ACB和△DCE均为等边三角形，点D在AC边上，现将△DCE绕点C逆时针旋转．
问题发现：当点A、D、E在同一直线上时，连接BE，如图2，
〔1）求证：△ACD≌△BCE；
〔2）求证：CD∥BE．
拓展探究
如图1，若CA=2$\sqrt{3}$，CD=2，将△DCE绕点C按逆对针方向旋转，旋转角度为α（0°＜α＜360°），如图3，α为90°或270°时，△CAD的面积最大，最大面积是$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 问题发现：（1）由△ACB和△DCE为等边三角形知AC=BC、CD=CE、∠ACB=∠DCE=60°，从而可得∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE．即可证得△ACD≌△BCE．
（2）由△ACD≌△BCE知∠ADC=∠BEC，根据∠EDC=60°知∠ADC=∠BEC=120°，由∠DCE+∠CEB=60°+120°=180°可证得CD∥BE．
拓展探究：作DF⊥AC于点F，由S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF=$\sqrt{3}$DF知DF取得最大值时△CAD面积最大，由△CFD中，DF＜CD知只有当CD旋转到与AC垂直时，FD才能取得最大值，即FD=CD，由于旋转角0°＜α＜360°，所以除了旋转90°以外，旋转270°也满足条件，继而可得最大面积．

解答 解：问题发现：
（1）∵△ACB和△DCE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB-∠DCB=∠DCE-∠DCB，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{DC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS）；

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠ADC=∠BEC，
又∵∠EDC=60°，
∴∠ADC=∠BEC=120°，
∴∠DCE+∠CEB=60°+120°=180°，
∴CD∥BE（内错角互补两直线平行）；

拓展探究：
如图，过点D作DF⊥AC于点F，

∵S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•DF=$\sqrt{3}$DF，
∴当DF取得最大值时△CAD面积最大，
又∵在△CFD中，DF＜CD，
∴只有当CD旋转到与AC垂直时，FD才能取得最大值，即FD=CD=2，
∵旋转角度为0°＜α＜360°，
∴当α=90°或270°时，△CAD的面积最大，最大面积是2$\sqrt{3}$，
故答案为：90°或270°，2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质、旋转的性质、平行线的判定等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键