Question

8．如图，抛物线y=ax²+bx+c经过点A（-1，0），E（0，5），B（2，5）三点，抛物线与x轴的另一个交点为C点，点P为y轴上一动点，作平行四边形BPCD．
（1）求C点的坐标；
（2）是否存在P点，使四边形BPCD为矩形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）连结PD，PD的长度是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）将A、B，E点的坐标代入y=ax²+bx+c，利用待定系数法求出函数解析式，再将y=0代入，解一元二次方程即可求出C点的坐标；
（2）设抛物线y=-$\frac{5}{3}{x}^{2}$+$\frac{10}{3}$x+5与y轴交于点F，连结BF，则∠BFP=90°，先证明△BPF∽△PCO，根据相似三角形对应边成比例列式求出OP，然后写出点P的坐标即可；
（3）连接BC，设PD、BC相交于点H，根据平行四边形的对角线互相平分可得PD=2PH，再求出点H的坐标，再根据垂线段最短可得PH⊥y轴时，PH最短，从而求出PH，再求出PD即可；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+0经过点A（-1，0），E（0，5），B（2，5），
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=5}\\{4a+2b+c=5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{5}{3}}\\{b=\frac{10}{3}}\\{c=5}\end{array}\right.$，
∴y=$-\frac{5}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}+5$，
当y=0时，$-\frac{5}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x+5=0$，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴C点的坐标为（3，0）；
（2）如图1，

设抛物线$y=-\frac{5}{3}{x}^{2}+\frac{10}{3}x+5$与y轴交于点F，则F点坐标为（0，5），连结BF，
∵B（2，5），
∴∠BFP=90°，
∵四边形BPCD为矩形，∠BPC=90°，
∴∠BPF+∠OPC=90°，
∵∠OPC+∠PCO=90°，
∴∠BPF=∠PCO．
在△BPF与△PCO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPF=∠PCO}\\{∠BFP=∠POC=9{0}^{°}}\end{array}\right.$，
∴△BPF∽△PCO，
∴$\frac{PF}{CO}=\frac{BF}{PO}$，
∵B（2，5），F（0，5），C（3，0），
∴BF=2，OC=3，OF=5，
∴PF=5-OP，
∴$\frac{5-OP}{3}=\frac{2}{OP}$，
整理得，OP²-5OP+6=0，
解得OP=2或OP=3，
∴点P的坐标为（0，2）或（0，3）；
（3）连接BC，设PD、BC相交于点H，

∵四边形BPCD是平行四边形，
∴PD、BC互相平分，
∴PD=2PH，
又∵C（3，0），B（2，5），
∴点H的坐标为（2.5，2.5），
根据垂线段最短，PH⊥y轴时，PH最短，
此时，PH=2.5，
PD=2PH=2×2.5=5．

点评 本题是二次函数综合题型，其中涉及到的知识点有利用待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的对角线互相平分的性质等知识，综合性较强．利用圆的解析式求出抛物线到点E的距离等于2的点的纵坐标是解题的关键，也是本题的难点．