Question

如图，已知半圆O的直径AB，将一个三角尺的直角顶点固定在圆心O上，当三角尺绕着点O转动时，三角尺的两条直角边与半圆圆周分别交于C、D两点，连结AD、BC交于点E．
（1）求证：BD=DE．
（2）连接CD，若BE=2

2

，∠BAD=30°，求CD的长．

Answer 1

考点：圆周角定理,含30度角的直角三角形,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）由圆周角定理可求得∠DBE=45°，继而求得∠DEB=∠DBE=45°，即可证得结论；
（2）由BE=2

2

，∠BAD=30°，易得△OBD是等边三角形，△OCD是等腰直角三角形，继而求得答案．

解答：（1）证明：∵∠COD=90°，
∴∠DBE=

1

2

×90°=45°，
∵AB为直径，
∴∠BDE=90°，
∴∠DEB=∠DBE=45°，
∴BD=DE；

（2）解：∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵BD=DE，
∴BD=

2

2

BE=

2

2

×2

2

=2，
∵∠BAD=30°，
∴∠BOD=2∠BAD=60°，
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴OD=BD=2，
∵OC=OD，∠COD=90°，
∴CD=

2

OD=2

2

．

点评：此题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质以及等腰直角三角形性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．