Question

6．如图：点A的坐标为（3，4），点B在直线y=2x+4上运动，当线段AB最短时，AB的长度为$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 当AB与直线y=2x+4垂直时，AB最短．求出AB的解析式，与y=2x+4组成方程组，求出其交点坐标，然后根据勾股定理求得即可．

解答 解：设AB解析式为y=kx+b（k≠0），
∵AB与直线y=2x+4垂直，
∴k=-$\frac{1}{2}$，
∴直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+b．
将A（3，4）代入y=-$\frac{1}{2}$x+b，得
4=-$\frac{3}{2}$+b，
解得，b=$\frac{11}{2}$．
则直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{11}{2}$．则
$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+4}\\{y=-\frac{1}{2}x+\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}}\\{y=\frac{26}{5}}\end{array}\right.$．
故B点坐标为（$\frac{3}{5}$，$\frac{26}{5}$）．
∴AB=$\sqrt{（3-\frac{3}{5}）^{2}+（4-\frac{26}{5}）^{2}}$=$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．
故答案是：$\frac{6}{5}$$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到B点是解题的关键．