题目内容
如图，点G是△ABC的重心，过G作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作ED∥BC，交AB于点D，若四边形BFED的面积为12，求S△ABC．考点：三角形的重心
专题：
分析：连接CG并延长，交AB于H，过点F作FN⊥AB于N，过点C作CM⊥AB于M，由点G是△ABC的重心可得BH=AH，且CG=
CH．易证△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，△BNF∽△BMC，然后根据相似三角形的性质可求出
、
，从而可求出
，根据条件就可求出△ABC的面积．
| 2 |
| 3 |
| EF |
| AB |
| FN |
| CM |
| S四边形BFED |
| S△ABC |
解答：解：连接CG并延长，交AB于H，过点F作FN⊥AB于N，过点C作CM⊥AB于M，如图，
则有CM∥FN．
∵点G是△ABC的重心，
∴BH=AH，且CG=
CH．
∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，
∴
=
=
=
，
=
=
，
∴
=
，
=1-
=
．
∵BH=AH，
∴GF=GE，
∴
=
=
．
∵CM∥FN，
∴△BNF∽△BMC，
∴
=
=
．
∵EF∥AB，ED∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴EF=DB，
∴
=
=
=2×
×
=
．
∵S四边形BFED=12，
∴S△ABC=27．
则有CM∥FN．
∵点G是△ABC的重心，
∴BH=AH，且CG=
| 2 |
| 3 |
∵EF∥AB，
∴△CGF∽△CHB，△CGE∽△CHA，
∴
| GF |
| HB |
| CF |
| CB |
| CG |
| CH |
| 2 |
| 3 |
| GE |
| HA |
| CG |
| CH |
| 2 |
| 3 |
∴
| GF |
| HB |
| GE |
| HA |
| BF |
| BC |
| CF |
| CB |
| 1 |
| 3 |
∵BH=AH，
∴GF=GE，
∴
| EF |
| AB |
| 2GF |
| 2HB |
| 2 |
| 3 |
∵CM∥FN，
∴△BNF∽△BMC，
∴
| FN |
| CM |
| BF |
| BC |
| 1 |
| 3 |
∵EF∥AB，ED∥BC，
∴四边形BFED是平行四边形，
∴EF=DB，
∴
| S四边形BFED |
| S△ABC |
| DB•FN | ||
|
| 2EF•FN |
| AB•CM |
=2×
| 2 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
| 4 |
| 9 |
∵S四边形BFED=12，
∴S△ABC=27．
点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、三角形重心等知识，利用重心的性质分别求出四边形BFED与△ABC底的比、高的比是解决本题的关键．
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