Question

如图，直线y=kx+b与y轴的交点坐标为A（0，1），与x轴的标点坐标为B（-3，0），P，Q分别是射线BO和射线BA上的动点．
（1）求直线AB的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在点P，Q，使得△APQ是以点P为顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）将A、B两点的坐标代入y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，分两种情况进行讨论：①如果AB=AP，由于点P在x轴上，根据等腰三角形的性质可知P与B关于y轴对称，则点P的坐标为（3，0）；②如果BP=BA，先由勾股定理求出BA=

32+12

=

10

，进而求出OP=BP+OB=

10

+3，则点P的坐标为（-3-

10

，0）；
（3）当△APQ是以点P为顶点的等腰直角三角形时，分两种情况进行讨论：①当点P在线段BO上时，如图1．过点P作PC⊥AQ于C，设PC=a．根据等腰直角三角形的性质得出AC=a．易证△BCP∽△BOA，根据相似三角形对应边的比相等得到

BC

3

=

a

1

=

BP

10

，于是BC=3a，BP=

10

a．由BC+AC=AB=

10

，列出方程3a+a=

10

，解方程求出a的值，进而得到点P的坐标；②当点P在x轴正半轴上时，如图2．同①可求出点P的坐标．

解答：解：（1）∵直线y=kx+b经过点A（0，1），B（-3，0），
∴

b=1 -3k+b=0

，解得

k= 1 3 b=1

，
∴直线AB的解析式为y=

1

3

x+1；

（2）当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①如果AB=AP，
∵AO⊥BP，
∴OP=OB=3，
∴点P的坐标为（3，0）；
②如果BP=BA，
∵BA=

32+12

=

10

，
∴OP=BP+OB=

10

+3，
∴点P的坐标为（-3-

10

，0）；
综上所述，存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，此时点P的坐标为（3，0）或（-3-

10

，0）；

（3）当△APQ是以点P为顶点的等腰直角三角形时，分两种情况：
①当点P在线段BO上时，如图1．过点P作PC⊥AQ于C，设PC=a．
∵△APQ是等腰直角三角形，
∴AC=a．
在△BCP与△BOA中，

∠CBP=∠OBA ∠BCP=∠BOA

，
∴△BCP∽△BOA，
∴

BC

BO

=

CP

OA

=

BP

BA

，即

BC

3

=

a

1

=

BP

10

，
∴BC=3a，BP=

10

a．
∵BC+AC=AB=

10

，
∴3a+a=

10

，
∴a=

10

4

，
∴BP=

10

a=

10

×

10

4

=

5

2

，
∴OP=OB-BP=3-

5

2

=

1

2

，
∴点P的坐标为（-

1

2

，0）；
②当点P在x轴正半轴上时，如图2．过点P作PC⊥AQ于C，设PC=a．
同①可得BC=3a，BP=

10

a．
∵BC-AC=AB=

10

，
∴3a-a=

10

，
∴a=

10

2

，
∴BP=

10

a=

10

×

10

2

=5，
∴OP=BP-OB=5-3=2，
∴点P的坐标为（2，0）；
综上所述，存在点P，Q，使得△APQ是以点P为顶点的等腰直角三角形，此时点P的坐标为（-

1

2

，0）或（2，0）．

点评：本题是一次函数综合题，其中涉及到运用待定系数法求函数的解析式，等腰三角形、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，难度适中．利用分类讨论、数形结合及方程思想是解题的关键．