Question

已知，Rt△ABC中，∠C=90°，E、F分别在CB、CA上，EF∥AB，EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，MD平分∠BME交BE于D，NH平分∠FNA交AF于H．
（1）如图1，若AC=BC，找出图中所有分别于ME，ED相等的线段，并给出证明：
（2）如图2，若AC≠BC，与ME，ED相等的线段仍然各有一条，请找出并证明．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）易证四边形EFNM为矩形，可得ME=MB=NF=NA，根据△BME、△ANF为等腰直角三角形，可得BD=DE=DM=AH=NH=FH；
（2）易证ME=FN，作△EPM≌△FHN，可得∠NFH=∠PEM，∠PME=∠FNH，EP=FH，易求得∠DMP=90°，即可得EDMP四点共圆，可得DE=PE=FH．

解答：解：（1）∵EF∥AB，EM⊥AB于M，FN⊥AB于N，
∴四边形EFNM为矩形，
∴ME=FN，∵AC=BC，∴∠A=∠B=45°，
∴MB=ME，NF=NA，
∴ME=MB=NF=NA，
∴△BME、△ANF为等腰直角三角形，
∴BD=DE=DM=AH=NH=FH；
（2）∵四边形EFNM为矩形，
∴ME=FN，
将△FHN向左平移，使得FM和EM重合，

则△EPM≌△FHN，
∴∠NFH=∠PEM，∠PME=∠FNH，EP=FH，
∵∠BEM+∠CEF=90°，∠CEF+∠CFE=90°，
∴∠CFE=∠BEM，
∵∠CFE+∠NFH=90°，
∴∠BEM+∠PEM=90°，
∵∠DME=∠FNH=45°
∴∠DMP=90°，
∴EDMP四点共圆，
∵∠DME=∠PME=45°，
∴DE=PE=FH．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中作出△EPM≌△FHN是解题的关键．