Question

有若干个数a₁、a₂，a₃，…，a_n，若a₁=-

1

2

，从第二个数起，每个数都等于“1与它前面的那个数差的倒数”．
（1）求a₂=

 

；a₃=

 

；
（2）求a₉•a₁₀•a₁₁的值；
（3）是否存在M的值，使M÷（a_n-1•a_n•a_n+1）=a₁？若存在，请求出M的值．

Answer 1

考点：规律型：数字的变化类

专题：

分析：（1）将各个数字依次计算，因为a₁=-

1

2

，得出a₂=

1

1-(- 1 2 )

，a₃=

1

1- 2 3

，进而得出答案；
（2）根据题意得出a₄=

1

1-3

，故得出这些数字不断重复出现，周期为3，从而求解；
（3）利用a_n-1•a_n•a_n+1，为连续三个数，进而得出a_n-1．a_n．a_n+1=-1，进而得出答案．

解答：解：（1）由题意可得：∵a₁=-

1

2

，
∴a₂=

1

1-(- 1 2 )

=

2

3

，a₃=

1

1- 2 3

=3；
故答案为：

2

3

，3；

（2）由题意可得：a₄=

1

1-3

=-

1

2

，则a的值每3个一循环，
故a₉=a₃，a₁₀=a₁，a₁₁=a₂，
则a₉•a₁₀•a₁₁=-

1

2

×

2

3

×3=-1；

（3）从该题可以看出，a_n-1•a_n•a_n+1，为连续三个数，从第一问中我们已经得出结论，
任意三个连续的数字，它们三个数字均为-

1

2

，

2

3

，3，只不过排列顺序不同而已．
因此，这三个数字相乘，得出的结果是：a_n-1．a_n．a_n+1=-1．又已知A₁=-

1

2

，
所以，利用倒推法，由-

1

2

×（-1）=

1

2

，
故这个M值存在，它的值为

1

2

．

点评：此题主要考查了数字变化类，根据题意得出a的变化规律是解题关键．