Question

2．如图，抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1与x轴分别相交于点A、B，与y轴相交于点C，且OA=OC．
（1）求点A、B的坐标；
（2）若点D到点A、B、C的距离相等，则抛物线上是否存在一点P，使以P、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意求得OA=OC=1，从而求得A的坐标（-1，0），C（0，-1），把A的坐标代入y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1求得b，求得解析式，令y=0，解方程即可求得B的坐标．
（2）根据题意得出D的坐标，根据B、C、D的坐标即可求得使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形的P的坐标．然后检验点P是否在抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1上即可．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1与x轴交于A，B，与y轴交于C，且OA=OC，
∴OA=OC=1，
∴A的坐标（-1，0），C（0，-1），
代入y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1得0=$\frac{1}{3}$-b-1，解得，b=-$\frac{2}{3}$，
∴抛物线为y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1，
令y=0，则$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1=0，解得，x₁=-1，x₂=3，
∴B的坐标为（3，0）．
（2）如图，∵D到A，B，C距离相等，
∴D是直线y=x和x=1的交点，
∴D（1，1），
∵使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，B（3，0），C（0，-1），
∴P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0），
把P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0）分别代入y=$\frac{1}{3}$x²-$\frac{2}{3}$x-1，
得P₁（4，2），P₂（（2，-2），P₃（-2，0）都不在抛物线y=$\frac{1}{3}$x²+bx-1，
∴抛物线上不存在一点P，使以P、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形．

点评 本题考查了抛物线和x轴的交点以及待定系数法求解析式，平行四边形的判定，熟练掌握待定系数法和平行四边形的判定是解题的关键．