Question

13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，tanA=$\frac{1}{2}$，将△ABC沿直线l翻折，恰好使点A与点B重合，直线l分别交边AB、AC于点D、E；
（1）求△ABC的面积；
（2）求sin∠CBE的值．

Answer 1

分析 （1）根据∠A的正切用BC表示出AC，再利用勾股定理列方程求出BC，再求出AC，然后根据直角三角形的面积公式列式计算即可得解；
（2）设CE=x，表示出AE，再根据翻折变换的性质可得BE=AE，然后列方程求出x，再利用锐角的正弦等于对边比斜边列式计算即可得解．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，tanA=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{BC}{AC}$=$\frac{1}{2}$，
∴AC=2BC，
在Rt△ABC中，BC²+AC²=AB²，
即BC²+4BC²=25，
解得BC=$\sqrt{5}$，
所以，AC=2$\sqrt{5}$，
△ABC的面积=$\frac{1}{2}$AC•BC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$=5；

（2）设CE=x，则AE=AC-CE=2$\sqrt{5}$-x，
∵△ABC沿直线l翻折点A与点B重合，
∴BE=AE=2$\sqrt{5}$-x，
在Rt△BCE中，BC²+CE²=BE²，
即$\sqrt{5}$²+x²=（2$\sqrt{5}$-x）²，
解得x=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
所以，CE=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$，
BE=2$\sqrt{5}$-x=2$\sqrt{5}$-$\frac{3\sqrt{5}}{4}$=$\frac{5\sqrt{5}}{4}$，
所以，sin∠CBE=$\frac{CE}{BE}$=$\frac{\frac{3\sqrt{5}}{4}}{\frac{5\sqrt{5}}{4}}$=$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了翻折变换的性质，锐角三角函数的定义，此类题目，利用勾股定理列出方程求出相关的线段的长度是解题的关键．