Question

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，F分别是边AC，AB的中点，延长BC到点D，使2CD=BC，连接DE．
（1）如果AB=10，求DE的长；
（2）延长DE交AF于点M，求证：点M是AF的中点．

Answer 1

分析 （1）连接CF，根据直角三角形的性质得到CF=$\frac{1}{2}$AB=5，根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，证明四边形EDCF是平行四边形，根据平行四边形的性质证明；
（2）根据平行四边形的性质、平行线等分线段定理证明．

解答 解：（1）连接CF，
在Rt△ABC中，F是AB的中点，
∴CF=$\frac{1}{2}$AB=5，
∵点E，F分别是边AC，AB的中点，
∴EF∥BC，EF=$\frac{1}{2}$BC，
∵2CD=BC，
∴EF=CD，EF∥CD，
∴四边形EDCF是平行四边形，
∴DE=CF=5；

（2）如图2，∵四边形EDCF是平行四边形，
∴CF∥DM，
∵点E是边AC的中点，
∴点M是AF的中点．

点评 本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．