题目内容
13．
在平面直角坐标系中，A（a，0），B（12，b），C（0，b）且$\sqrt{\frac{1}{2}a-4}$+（b-6）2=0，线段PQ=7．（1）写出A，B，C三点的坐标．
（2）若线段PQ在x轴上移动，当CP平分∠BCO时，此时OP=OC，作∠CQA邻补角的平分线交直线CP于点E，请你在答题卷画出图形，并探求∠PEQ与∠OCQ数量关系．
（3）若线段PQ在y轴上移动，是否存在三角形ABP的面积是三角形ABQ的面积的2倍？若存在直角写出P、Q两点的坐标；若不存在，说明理由．
分析 （1）利用非负性求出a，b，c即可得出结论；
（2）分点P在点Q的左侧和右侧两种情况，利用角平分线的性质和三角形的外角的性质即可得出结论；
（3）分点P在点Q上方和下方两种情况，利用同底的两三角形的面积比是高的比建立方程求解即可．
解答 解：（1）∵$\sqrt{\frac{1}{2}a-4}$+（b-6）2=0，
∴$\frac{1}{2}$a-4=0，b-6=0，
∴a=8，b=6，
∴A（8，0），B（12，6），C（0，6）；
（2）①当点P在点Q的左边时，如图1所示，
由（1）知，B（12，6），C（0，6），
∴BC∥x轴，
∴∠OCB=90°，
∵CP是∠BCO的角平分线，
∴∠OCP=45°，
∴∠OPC=∠OCP=45°，
∴OP=OC，
∵∠CQx=∠AOC+∠OCQ=90°+∠OCQ，
∴∠OCQ=∠CQx-∠AOC=∠CQx-90°，
∵QE是∠CQA的邻补角的平分线，
∴∠PQE=$\frac{1}{2}$∠CQx=$\frac{1}{2}$∠OCQ+45°，
在△PQE中，∠PEQ+∠PQE+∠EPQ=180°，
∴∠PEQ+$\frac{1}{2}$∠OCQ+45°+45°=180°，
∴∠PEQ=90°-$\frac{1}{2}$∠OCQ；
②当点P在点Q右侧时，如图2所示，
同①的方法得，∠PEQ=$\frac{1}{2}$∠OCQ；
（3）①当点P在点Q上方时，
如图3，∵A（8，0），B（12，6），
∴直线AB的解析式为y=$\frac{3}{2}$x-12，
∴D（0，-12），
设点Q（0，t），
∴P（0，t+7），
∴DP=|t+19|，DQ=|t+12|，
过点P作PF⊥AB于F，过点Q作QE⊥AB于E，
∴QE∥PF，
∴△DQE∽△DPF，
∴$\frac{PE}{QF}=\frac{DP}{DQ}$，
∵三角形ABP的面积是三角形ABQ的面积的2倍，
∴PE=2QF，
∴DP=2DQ，
∴2|t+12|=|t+19|，
∴t=-5或t=-$\frac{43}{3}$，
∴P（0，2），Q（-5，0）或P（0，-$\frac{22}{3}$），Q（0，-$\frac{43}{3}$）
②当点P在点Q的下方时，同①的方法得，P（0，-26），Q（0，-19）或P（0，-$\frac{50}{3}$），Q（0，-$\frac{29}{3}$）．
点评 此题是三角形综合题，主要考查了非负性，三角形的外角的性质，角平分线的定义，相似三角形的判定和性质，解本题的关键是分情况讨论，难点是作出图形．
如图，在?ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（ ）| A． | 1 cm | B． | 2 cm | C． | 3 cm | D． | 4 cm |
如图，在△ABC中，BE⊥CD于F，∠A=40°，∠ACD=28°，则∠ABE=22度．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，F分别是边AC，AB的中点，延长BC到点D，使2CD=BC，连接DE．
如图，Rt△ABC中点D是AB中点，过点B，点C分别作BE∥CD，CE∥BD．| A． | 该抛物线可由抛物线y=ax2向右平移2个单位，向下平移2个单位得到 | |
| B． | 若1＜m＜n＜3，则a＞0 | |
| C． | 若1＜x0＜3，则y0＜0 | |
| D． | 不论a取何值，m+n=4 |
