Question

6．如图，已知?ABCD中，AD=8cm，AB=10cm，BD=12cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点C出发以相同的速度向点D运动，设运动时间为t．
（1）连接DP、BQ，求证：DP=BQ；
（2）填空：
①当t为1s时，四边形PBQD是矩形；
②当t为2s时，四边形PBQD是菱形．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得AD=BC、∠A=∠C，结合AP=CQ=t，证△APD≌△CQB可得答案；
（2）①先证PBQD是平行四边形，由∠DPB=90°时四边形PBQD为矩形，可得AD²-AP²=BD²-BP²，即8²-t²=12²-（10-t）²，解之可得；
②先表示出PE=t-1，由PD=PB=10-t时四边形PBQD为菱形，由AD²-AE²=PD²-PE²，即8²-1²=（10-t）²-（t-1）²，解之可得．

解答 解：（1）由题意知AP=CQ=t，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC、∠A=∠C，
在△APD和△CQB中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{AD=CB}\\{∠A=∠C}\\{AP=CQ}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△CQB（SAS），
∴DP=BQ；

（2）①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=10，AP=CQ=t，
∴DQ∥PB，且DQ=PB=10-t，
∴四边形PBQD是平行四边形，
如图1，

当∠DPB=90°时，四边形PBQD为矩形，
则AD²-AP²=BD²-BP²，即8²-t²=12²-（10-t）²，
解得：t=1，
∴当t=1时，四边形PBDQ是矩形；
故答案为：1；
②如图2，

过点D作DE⊥AB于点E，
由①知AE=1，
则PE=AP-AE=t-1，
当PD=PB=10-t时，四边形PBQD为菱形，
则AD²-AE²=PD²-PE²，即8²-1²=（10-t）²-（t-1）²，
解得：t=2，
∴当t=2时，四边形PBDQ是菱形；
故答案为：2．

点评 本题主要考查平行四边形的判定与性质及矩形的判定、菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定及勾股定理是解题的关键．