Question

3．小明研究了以下一种二叉图形的结点（）数，如图，一层二叉树的结点总数为1，二层二叉树的点总数为3，三层二叉树的结点总数为7，…照此规律，你认为八层二叉树的结点总数为（　　）

• A． 127
• B． 168
• C． 255
• D． 512

Answer 1

分析 观察图形可知每增加一层，二叉树的结点总数会比前一个多出2^n-1个，而n层二叉树的结点总数为1+2+2²+2³+…+2 ^n-1是一个等比数列的和，即$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1，再把n=8代入即可求解．

解答 解：由图可知
一层二叉树的结点总数为1，
二层二叉树的点总数为3=1+2
三层二叉树的结点总数为7=1+2+4=1+2+2²，
四层二叉树的结点总数为1+2+2²+2³，
…
n层二叉树的结点总数为1+2+2²+2³+…+2 ^n-1=$\frac{1×（1-{2}^{n}）}{1-2}$=2ⁿ-1
所以八层二叉树的结点总数为：2⁸-1=255
故答案为：C

点评 本题主要考查了图形的变化规律，解本题的关键是根据图形的变化规律发现每增加一层，二叉树的结点总数会比前一个多出2^n-1个，从而得到一个等比数列．先找到一般方法再代入特殊值求解．