Question

14．如图，∠DCE=90°，CD=CE，AD⊥AC，BE⊥AC，垂足分别为A、B，AD=3，AB=1．
（1）求证：Rt△ACD≌△BEC；
（2）求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由直角三角形的性质和同角的余角相等得出∠ACD=∠E，由AAS证明△ADC≌△BCE即可；
（2）由全等三角形的性质得出对应边相等AD=BC，BE=AC，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠DCE=90°（已知），
∴∠ECB+∠ACD=90°，
∵EB⊥AC，
∴∠E+∠ECB=90°（直角三角形两锐角互余）．
∴∠ACD=∠E（同角的余角相等）．
∵AD⊥AC，BE⊥AC（已知），
∴∠A=∠EBC=90°（垂直的定义）
在Rt△ACD和Rt△BEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠EBC}&{\;}\\{∠ACD=∠E}&{\;}\\{CD=EC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACD≌Rt△BEC（AAS）．
（2）解：由（1）得：Rt△ACD≌Rt△BEC，
∴AD=BC，AC=BE（全等三角形的对应边相等），
∴AD+AB=BC+AB=AC．
∴BE=AD+AB=3+1=4．

点评 本题考查了三角形全等的判定及性质、直角三角形的性质；熟练掌握全等三角形的性质及判定，同一题中出现多个90°角的时候，往往通过互余求得角度相等，为三角形全等提供有用的条件，要掌握这种方法．