Question

3．如图，△ABC中，AB=AC，点D，E，F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数；
（3）点E是否存在一个合适的位置，使△DEF是等腰直角三角形？若存在，求出此时E点的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由SAS可得△BDE≌△CEF，得出DE=EF，第一问可求解；
（2）由（1）中的全等得出∠BDE=∠CEF，再由角之间的转化，从而可求解∠DEF的大小；
（3）假设是等腰直角三角形，得出∠B=90°由于AB=AC，∠B=∠C≠90°，所以其不可能是等腰直角三角形．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDE与△CEF中$\left\{\begin{array}{l}{BD=CE}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CEF．
∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．

（2）解：由（1）知△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF
∵∠CEF+∠DEF=∠BDE+∠B
∴∠DEF=∠B
∵AB=AC，∠A=40°
∴∠DEF=∠B=$\frac{180°-40°}{2}$=70°．

（3）解：△DEF不可能是等腰直角三角形，
理由：假设△DEF是等腰直角三角形，
由（1）知，△DEF是等腰三角形，
∴∠DEF=90°，
∴∠BED+∠CEF=90°，
由（1）知，△BDE≌△CEF，
∴∠BDE=∠CEF，
∴∠BED+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，
而AB=AC，
∴∠B=∠C≠90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形

点评 本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及等腰三角形的判定和性质问题，能够熟练掌握三角形的性质求解一些简单的计算、证明等问题．