Question

9．已知直线y=$\frac{1}{2}$x+2与y轴交于点A，与双曲线y=$\frac{6}{x}$有一个交点为B（2，3），将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C，D，与双曲线的一个交点为P，若$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，则点D的坐标为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），．

Answer 1

分析 设D的坐标为（0，m），根据平行线分线段成比例定理得出$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，然后根据$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，求得PM的值，从而求得P的坐标，代入直线解析式即可求得m的值．

解答 解；当D点在y轴的正半轴时，如图1所示，
设D的坐标为（0，m），
∵将直线AB向下平移，与x轴、y轴分别交于点C，D，
∴CD∥AB，
∴直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}x$+m，
作PM⊥x轴于M，
∴PM∥y轴，
①P在第一象限时，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=3OD=3m，
∵P是双曲线的一个交点，
∴P（$\frac{2}{m}$，3m），
∴3m=$\frac{1}{2}$×$\frac{2}{m}$+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m＞0，
∴D（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
②P在第三象限时，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=1，
∴PM=OD=m，
∵P是双曲线的一个交点，
∴P（-$\frac{6}{m}$，-m），
∴-m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴m＞0，
∴D（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；

当D点在y轴的负半轴时，如图2所示，
作PM⊥x轴于M，
∴PM∥y轴，
③P在第一象限时，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=1，
∴PM=OD=m，
∵P是双曲线的一个交点，
∴P（-$\frac{6}{m}$，-m），
∴-m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{6}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴m＜0，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）；
④P在第三象限时，$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$，
∵$\frac{CD}{DP}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{OD}{PM}$=$\frac{CD}{CP}$=$\frac{1}{3}$，
∴PM=3OD=3m，
∵P是双曲线的一个交点，
∴P（-$\frac{2}{m}$，-3m），
∴-3m=$\frac{1}{2}$×（-$\frac{2}{m}$）+m，
解得m=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴m＜0，
∴D（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；

综上，点D的坐标为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
故答案为（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）或（0，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）或（0，-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，平移的性质以及平行线分线段成比例定理，表示出P点的坐标是解题的关键．