Question

 问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点。

问题探究：（1）在旋转过程中，

①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。

②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由。

③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明）

（2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由。

                图1                 图2                     图3

Answer 1

（1）①DP＝DQ            

理由：连接CD，

，△ABC是等腰直角三角形，

，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°，

∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，

                

②。            

理由：如图，过点D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分别为M、N，

∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∴∠MDP＝∠NDQ，

∴△DPM∽△DQN，。

∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B，

∴△AMD∽△BND，。

，

。                    

③。                    

（2）存在，设，由（1）①知，

，

当DP⊥AC时，x最小，最小值是，此时，S有最小值，

                  

当点P与点A重合时，x最大，最大值是10，此时，S有最大值，