Question

19．已知平面直角坐标系中有点A（-2，1），B（2，3）
（1）在x轴上找一点P，使|PA-PB|的值最大，并求出点P的坐标；
（2）在x轴上找一点M，使MA+MB的值最小，并求出点M的坐标；
（3）在x轴上找一点N，使△ABN为等腰三角形，通过画图说明使△ABN为等腰三角形的点N有多少个（不求N点坐标）．

Answer 1

分析 （1）根据两边之差小于第三边得到P位于直线AB与x轴交点的位置时，|PA-PB|最大，设直线AB解析式为y=kx+b，将A与B坐标代入，求出k与b的值，确定出直线AB解析式，令y=0求出对应x的值，确定出P的坐标；
（2）利用轴对称图形的性质可作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B，交x轴于点M，点M即为所求．根据A（-2，1），B（2，3）两点的坐标用待定系数法求出直线A′B的解析式，再根据x轴上的点的坐标特征求出点M的坐标．
（3）以点A为圆心，AB长为半径交x轴于两点；以点B为圆心，AB长为半径交x轴于两点；AB的垂直平分线交x轴于一点，点N共5个．

解答 解：（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），
将A（-2，1），B（2，3）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=1}\\{2k+b=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
故直线AB解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令y=0，解得x=4，
即P坐标为（4，0）时，|PA-PB|最大；

（2）点A关于x轴的对称点A′（-2，-1），
直线A′B的解析式为y=x+1．
点M为直线A′B与x轴的交点，
∴点M的坐标为（-1，0）．

（3）如图所示：使△ABN为等腰三角形的点N有5个．

点评 此题主要考查轴对称--最短路线问题，综合运用了一次函数的知识．同时考查了等腰三角形的作图方法．