Question

11．已知，如图，AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，动点P，Q分别在线段OC，CD上，且DQ=OP，AP的延长线与射线OQ相交于点E，与弦CD相交于点F（点F与点C，D不重合），AB=20，cos∠AOC=$\frac{4}{5}$，设OP=x，△CPF的面积为y．
（1）求证：AP=OQ；
（2）求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
（3）当△OPE是直角三角形时，求线段OP的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，证得△AOP≌△ODQ后即可证得AP=OQ；
（2）作PH⊥OA，根据cos∠AOC=$\frac{4}{5}$得到OH=$\frac{4}{5}$PO=$\frac{4}{5}$x，从而得到S_△AOP=$\frac{1}{2}$AO•PH=3x，利用△PFC∽△PAO得当对应边的比相等即可得到函数解析式；
（3）分当∠POE=90°时、当∠OPE=90°时，当∠OEP=90°时三种情况讨论即可得到正确的结论．

解答 解：（1）连接OD，
在△AOP和△ODQ中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=OD}\\{∠AOC=∠C=∠ODQ}\\{OP=DQ}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△ODQ，
∴AP=OQ；

（2）作PH⊥OA，
∵cos∠AOC=$\frac{4}{5}$，
∴OH=$\frac{4}{5}$PO=$\frac{4}{5}$x，
∴S_△AOP=$\frac{1}{2}$AO•PH=3x，
又∵△PFC∽△PAO，
∴$\frac{y}{{S}_{△AOP}}$=$（\frac{CP}{PO}）^{2}$=（$\frac{10-x}{x}$）²，
整理得：y=$\frac{3{x}^{2}-60x+300}{x}$，
∵AP延长线与CD相交于点F，
∴CF≤CD=16，易知△CPF∽△OPA，
∴$\frac{CP}{x}=\frac{CF}{AO}$，
∴x的定义域为：$\frac{50}{13}$＜x＜10；

（3）当∠POE=90°时，CQ=$\frac{OC}{cos∠QCO}$=$\frac{25}{2}$，PO=DQ=CD-CQ=$\frac{7}{2}$（舍）；
当∠OPE=90°时，PO=AO•cos∠COA=8；
当∠OEP=90°时，如图，由（1）知△AOP≌△ODQ，
∴∠APO=∠OQD，
∴∠AOQ=∠OQD=∠APO，
∵∠AOQ＜90°，∠APO＞90°（矛盾），
∴此种情况不存在，
∴线段OP的长为8．

点评 本题考查了圆的综合知识、相似三角形的判定及性质等知识，综合性较强，难度较大，特别是第三题的分类讨论更是本题的难点．