Question

2．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．
（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）在（1）的情况下，点M是第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）在（1）的情况下，若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，-x²+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；
（3）分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．

解答 解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），
∴点A′的坐标为：（4，0），
∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），抛物线经过点C、A、A′，
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴此抛物线的解析式为：y=-x²+3x+4；

（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴直线AA′的解析式为：y=-x+4，
设点M的坐标为：（x，-x²+3x+4），
则S_△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x²+3x+4-（-x+4）]=-2x²+8x=-2（x-2）²+8，
∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S_△AMA′=8，
∴M的坐标为：（2，6）；

（3）设点P的坐标为（x，-x²+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，
∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（-1，0），
∴点B的坐标为（1，4），
∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，
①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，
∵BQ=4，
∴-x²+3x+4=±4，
当-x²+3x+4=4时，解得：x₁=0，x₂=3，
∴P₁（0，4），P₂（3，4）；
当-x²+3x+4=-4时，解得：x₃=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，x₄=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，
∴P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）；
②当BQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P₁，P₂重合；
综上可得：点P的坐标为：P₁（0，4），P₂（3，4），P₃（$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，-4），P₄（$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，-4）；
如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．

点评 此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题．掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．