Question

20．如图，对称轴为直线x=$\frac{7}{2}$的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）
（1）求抛物线解析式及顶点坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A、B的坐标及对称轴公式，利用待定系数法可求得抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；
（2）由抛物线解析式可得出点E到x轴的距离，从而可表示出△OEA的面积，再利用平行四边形的性质可知S=2S_△OEA，从而可求得S与x的函数解析式，再根据点E在第四象限可知x应在抛物线与x轴的两个交点之间，从而可确定出x的取值范围．

解答 解：
（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{36a+6b+c=0}\\{c=4}\\{-\frac{b}{2a}=\frac{7}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=-\frac{14}{3}}\\{c=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4=$\frac{2}{3}$（x-$\frac{7}{2}$）²-$\frac{25}{6}$，
∴顶点坐标为（$\frac{7}{2}$，-$\frac{25}{6}$）；

（2）∵点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，且坐标适合y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4，
∴y＜0，则-y＞0，即点E到OA的距离为-y，
∵OA是平行四边形OEAF的对角线，
∴S=2S_△OEA=2×$\frac{1}{2}$OA×（-y）=-6（$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4）=-4x²+28x-24，
在y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4中，令y=0，可得$\frac{2}{3}$x²-$\frac{14}{3}$x+4=0，解得x=1或x=6，
∴点E的横坐标x的取值范围为1＜x＜6．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、平行四边形的性质、三角形的面积等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中用x表示出△OEA的面积是解题的关键．本题考查知识点不多，难度不大．