Question

10．如图，在△ABC中，AB=AC，点O为BC中点，⊙O与AC相切于点D，连接DO并延长，与AB的延长线相交于点E．
（1）判断⊙O与AB的位置关系，并证明；
（2）若BE=$\frac{5}{3}$，AC=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OA，作OF⊥AB于F，如图，由切线的性质得OD⊥AC，再根据等腰三角形的性质得AO平分∠BAC，根据角平分线的性质得OF=OD，然后根据切线的判定定理即可得到AB为⊙O的切线；
（2）先证明△EBO∽△EOA，利用相似比可计算出OE=$\frac{10}{3}$，再证明Rt△EOF∽Rt△EAD得到$\frac{OF}{AD}$=$\frac{OE}{EA}$=$\frac{1}{2}$，则设⊙O的半径为r，则AD=2r，AF=2r，BF=5-2r，然后利用射影定理得到OF²=AF•BF，即r²=2r•（5-2r），再解方程求出r即可．

解答 解：（1）⊙O与AB相切．理由如下：
连接OA，作OF⊥AB于F，如图，
∵⊙O与AC相切于点D，
∴OD⊥AC，
∵AB=AC，点O为BC中点，
∴AO平分∠BAC，
∴OF=OD，
∴AB为⊙O的切线；

（2）∵AB=AC，点O为BC中点，
∴OA⊥BC，
∴∠3+∠C=90°，
∵∠2+∠C=90°，
∴∠2=∠3，
而∠1=∠2，∠3=∠OAB，
∴∠1=∠OAB，
而∠BEO=∠OEA，
∴△EBO∽△EOA，
∴EO：EA=EB：EO，即EO²=EB•EA=$\frac{5}{3}$（$\frac{5}{3}$+5）=$\frac{10}{3}$，
∵∠OEF=∠AED，
∴Rt△EOF∽Rt△EAD，
∴$\frac{OF}{AD}$=$\frac{OE}{EA}$=$\frac{\frac{10}{3}}{\frac{5}{3}+5}$=$\frac{1}{2}$，
设⊙O的半径为r，则AD=2r，AF=2r，BF=5-2r，
∵OF⊥AB，
∴OF²=AF•BF，即r²=2r•（5-2r），解得r=$\sqrt{2}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．会运用相似比计算线段的长．