Question

5．如图甲，在△ABC中．∠ACB=90°．AC=4．BC=3．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动．同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动．它们的速度均为每秒钟1个单位长度．连接PQ，设运动时间为t秒钟（0＜t＜4）．
（1）设△APQ的面积为S，当实数t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
（2）在（1）的前提下．当S取得最大值时．把此时的△APQ沿射线AC以每秒钟1个单位长度的速度平移，当点A平移至与点C重合时停止，写出平移过程中，△APQ与△ABC的重叠部分面积y与平移时间x的函数解析式，并写出对应的x的取值范围；
（3）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求实数t的值．

Answer 1

分析 （1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，从而求出AB，再根据$\frac{PH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，得出PH=3-$\frac{3}{5}$t，则△AQP的面积为：$\frac{1}{2}$AQ•PH=$\frac{1}{2}$t（3-$\frac{3}{5}$t），最后进行整理即可得出答案；
（2）需要分类讨论，当PQ在BC的左边时，△APQ与△ABC的重叠部分面积y=S_△APQ，当PQ在BC的右边时，△APQ与△ABC的重叠部分面积y=S_△A′P′C；
（3）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，求出AE=-$\frac{4}{5}$t+4，再根据QE=AE-AQ，QE=$\frac{1}{2}$QC得出-$\frac{9}{5}$t+4=-$\frac{1}{2}$t+2，再求t即可．

解答 解：（1）如答图1，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴$\frac{PH}{BC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴$\frac{PH}{3}$=$\frac{5-t}{5}$，
∴PH=3-$\frac{3}{5}$t，
∴△AQP的面积为：
S=$\frac{1}{2}$×AQ×PH=$\frac{1}{2}$×t×（3-$\frac{3}{5}$t）=-$\frac{3}{10}$（t-$\frac{5}{2}$）²+$\frac{15}{8}$，
∴当t为$\frac{5}{2}$秒时，S最大值为$\frac{15}{8}$cm²．

（2）①当0≤x＜$\frac{3}{2}$时，y=$\frac{15}{8}$；
②如答图2，当$\frac{3}{2}$≤x≤4时，△A′P′C∽△A′PQ，则$\frac{A′C}{A′Q}$=$\frac{P′C}{PQ}$，即$\frac{4-x}{\frac{5}{2}}$=$\frac{P′C}{3-\frac{3}{5}×\frac{5}{2}}$，
解得P′C=$\frac{3}{5}$（4-x），
则y=$\frac{1}{2}$（4-x）×$\frac{3}{5}$（4-x）=$\frac{3}{10}$（4-x）²，
综上所述，y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{15}{8}（0≤x＜\frac{3}{2}）}\\{\frac{3}{10}（4-x）^{2}（\frac{3}{2}≤x≤4）}\end{array}\right.$；

（3）如答图3，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴$\frac{AE}{AC}$=$\frac{AP}{AB}$，
∴AE=$\frac{AP•AC}{AB}$=$\frac{（5-t）×4}{5}$=-$\frac{4}{5}$t+4
QE=AE-AQ═-$\frac{4}{5}$t+4-t=-$\frac{9}{5}$t+4，
QE=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（4-t）=-$\frac{1}{2}$t+2，
∴-$\frac{9}{5}$t+4=-$\frac{1}{2}$t+2，
解得：t=$\frac{20}{13}$，
∵0＜$\frac{20}{13}$＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是$\frac{20}{13}$s．

点评 此题主要考查了四边形综合题，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．