Question

6．观察以下一系列等式：
①2¹-2⁰=2-1=2⁰；    ②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；   ④2⁴-2³=16-8=2³；…
（1）请按这个顺序仿照前面的等式写出第④个等式；2⁴-2³=16-8=2³
（2）若字母n代表第n个等式，请用字母n表示上面所发现的规律：2ⁿ-2^n-1=2^n-1；
（3）请利用上述规律计算：2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰⁰．

Answer 1

分析 （1）根据已知等式的指数与序数的关系即可得；
（2）观察各等式得到2的相邻两个正整数幂的差等于2的较小的正整数次幂，即2ⁿ-2^n-1=2^n-1（n为正整数）；
（3）由（1）（2）得2⁰=2¹-2⁰，2¹=2²-2¹，2²=2²-2¹，…，2¹⁰⁰⁰=2¹⁰⁰¹-2¹⁰⁰⁰，代入待求等式，两两相消即可得．

解答 解：（1）∵①2¹-2⁰=2-1=2⁰；   
 ②2²-2¹=4-2=2¹；
③2³-2²=8-4=2²；
∴第④个等式为：2⁴-2³=16-8=2³，
故答案为：2⁴-2³=16-8=2³；

（2）由（1）知，第n个等式为：2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
故答案为：2ⁿ-2^n-1=2^n-1；

（3）∵2⁰=2¹-2⁰，2¹=2²-2¹，2²=2²-2¹，…，2¹⁰⁰⁰=2¹⁰⁰¹-2¹⁰⁰⁰，
∴2⁰+2¹+2²+2³+…+2¹⁰⁰⁰=（2¹-2⁰）+（2²-2¹）+（2²-2¹）+…+（2¹⁰⁰¹-2¹⁰⁰⁰）=2¹⁰⁰¹-2⁰=2¹⁰⁰¹-1．

点评 本题主要考查数字的变化类，解决此类问题的关键是找到序号和变化数字的关系，另外题目涉及证明和运算，对学生的考查能力有了更高的要求，题目整体艰难，适合课后培优训练．