Question

11．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a-3（a≠0）的顶点为A．
（1）求顶点A的坐标；
（2）过点（0，5）且平行于x轴的直线l，与抛物线y=ax²-4ax+4a-3（a≠0）交于B，C两点．
①当a=2时，求线段BC的长；
②当线段BC的长不小于6时，直接写出a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）配方得到y=ax²-4ax+4a-3=a（x-2）²-3，于是得到结论；
（2）①当a=2时，抛物线为y=2x²-8x+5，如图．令y=5得到2x²-8x+5=5，解方程即可得到结论；②令y=5得到ax²-4ax+4a-3=5，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵y=ax²-4ax+4a-3=a（x-2）²-3，
∴顶点A的坐标为（2，-3）；

（2）①当a=2时，抛物线为y=2x²-8x+5，如图．
令y=5，得
2x²-8x+5=5，
解得，x₁=0，x₂=4，
∴$\frac{4\sqrt{2a}}{a}$线段BC的长为4，
②令y=5，得ax²-4ax+4a-3=5，
解得，x₁=$\frac{2a+2\sqrt{2a}}{a}$，x₂=$\frac{2a-2\sqrt{2a}}{a}$，
∴线段BC的长为$\frac{4\sqrt{2a}}{a}$，
∵线段BC的长不小于6，
∴$\frac{4\sqrt{2a}}{a}$≥6，
∴0＜a≤$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，求二次函数的顶点坐标，正确的作出图象是解题的关键．