Question

1．观察下列等式：
$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$将以上三个等式两边分别相加得：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
（1）直接写出下式：$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$的计算结果为$\frac{2015}{2016}$．
（2）探究并计算：$\frac{1}{2×4}$+$\frac{1}{4×6}$+…+$\frac{1}{2n×2（n+1）}$（其中n为正整数）

Answer 1

分析 （1）根据题意裂项求和即可得；
（2）根据$\frac{1}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]裂项求解可得．

解答 解：（1）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2015×2016}$=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2015}$-$\frac{1}{2016}$
=1-$\frac{1}{2016}$
=$\frac{2015}{2016}$，
故答案为：$\frac{2015}{2016}$；

（2）原式=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{6}$+…+$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]
=$\frac{1}{2}$×[$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]
=$\frac{n}{4（n+1）}$
=$\frac{n}{4n+4}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出$\frac{1}{2n×2（n+1）}$=$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2n}$-$\frac{1}{2（n+1）}$]及裂项求和的方法是解题的关键．