Question

13．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，∠B=70°，∠C=30°．求：
（1）∠BAE的度数；    
（2）∠DAE的度数；
（3）探究：小明认为如果条件∠B=70°，∠C=30°改成∠B-∠C=40°，也能得出∠DAE的度数？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C=80°，然后根据角平分线定义得∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°；
（2）由于AD⊥BC，则∠ADE=90°，根据三角形外角性质得∠ADE=∠B+∠BAD，所以∠BAD=90°-∠B=20°，然后利用∠DAE=∠BAE-∠BAD进行计算；
（3）根据三角形内角和定理得∠BAC=180°-∠B-∠C，再根据角平分线定义得∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），加上∠ADE=∠B+∠BAD=90°，则∠BAD=90°-∠B，然后利用角的和差得∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），即∠DAE的度数等于∠B与∠C差的一半．

解答 解：（1）∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-70°-30°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=40°；
（2）∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B=90°-70°=20°，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=40°-20°=20°；
（3）能．
∵∠B+∠C+∠BAC=180°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$（180°-∠B-∠C）=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C），
∵AD⊥BC，
∴∠ADE=90°，
而∠ADE=∠B+∠BAD，
∴∠BAD=90°-∠B，
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=90°-$\frac{1}{2}$（∠B+∠C）-（90°-∠B）=$\frac{1}{2}$（∠B-∠C），
∵∠B-∠C=40°，
∴∠DAE=$\frac{1}{2}$×40°=20°．

点评 本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是180°和三角形外角性质解答．