题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数
的图像与坐标轴交于
三点，其中点
的坐标为
，点
的坐标为
，连接
．动点
从点出发，在线段
上以每秒1个单位长度的速度向点
作匀速运动；同时，动点
从点
出发，在线段
上以每秒1个单位长度的速度向点作匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，设运动时间为
秒．连接
．
（1）填空：
_________，
________；
（2）在点
运动过程中，
可能是直角三角形吗?请说明理由；
（3）在
轴下方，该二次函数的图象上是否存在点
，使
是以点为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，请求出运动时间的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
，4；（2）
不可能是直角三角形，见解析；（3）存在，
【解析】
（1）设抛物线的解析式为
．将
代入可得到抛物线的解析式，从而可确定出
、
的值；
（2）连结
．先求得点
的坐标，则
，依据勾股定理可求得
，
，接下来，依据
列方程求解即可；
（3）过点
作
轴，分别过点
、
作
、
，垂足分别为
、
，
交
轴与点
，过点作
轴，垂足为点
，首先证明
，依据相似三角形的性质可得到
，
，然后可求得
、
的长，然后再证明
，从而得到
，
，然后可求得
和
的长，从而可得到点的坐标，然后将点的坐标代入抛物线的解析式求解即可；
解：（1）设抛物线的解析式为．将代入得：
，
，
；
（2）在点、运动过程中，
不可能是直角三角形．
理由如下：连结．
在点、运动过程中，
、
始终为锐角，
当是直角三角形时，则
．
将
代入抛物线的解析式得：
，
．
，
，
在
中，依据勾股定理得：，在
中，依据勾股定理可知：，在
中依据勾股定理可知：
，在
中，
，
，即
，解得：
．
由题意可知：
，
不合题意，即不可能是直角三角形．
（3）如图所示：
过点作轴，分别过点、作、，垂足分别为、，交轴与点，过点作轴，垂足为点，则
轴，
．
轴，
，
，即
，
，，
，
．
，
，
，
．
又
，
，
在△MDP和△PEQ中，
，
，，
，
，
，
．
点在轴下方的抛物线上，
，解得：
．
，
．
