Question

12．△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于D，过D作⊙O的切线DE交AB于E，求证：
（1）DE⊥AB
（2）CD²=EB•AB．

Answer 1

分析 （1）连接OD．由等腰三角形的性质得出∴∠B=∠ODC，求出OD∥AB，再由切线的性质得出DE⊥AB，即可得出结论；
（2）连接AD，由等腰三角形的性质得出BD=CD，证明△BDE∽△BAD，得出对应边成比例，即可得出结论．

解答 证明：（1）连接OD，如图1所示：
∵AB=AC，OD=OC，
∴∠B=∠C，∠ODC=∠C，
∴∠B=∠ODC，
∴OD∥AB，
∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∴DE⊥AB；
（2）连接AD，如图2所示：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°=∠ADB，
又∵∠B=∠B，
∴△BDE∽△BAD，
∴BD：AB=EB：BD，
∴BD²=EB•AB，
∴CD²=EB•AB．

点评 本题主要考查的是圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形的内角和定理，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．