Question

2．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．
求证：（1）△ACD≌△BCE．
（2）△PCQ为等边三角形．

Answer 1

分析 （1）利用SAS易证得△ACD≌△BCE，
（2）ZYZM△ACP≌△BCQ，则可得CP=CQ，又由∠BCD=60°，即可证得：△PCQ为等边三角形．

解答 证明：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），

（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
在△ACP和△BCq中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CAP=∠CBQ}\\{AC=BC}\\{∠ACP=∠BCQ=60°}\end{array}\right.$，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP=CQ，
∴△PCQ为等边三角形．

点评 此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．