Question

如图，已知C为线段AB上的一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN和CM相交于F点，BM和CN交于E点．求证：△CEF是等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：由等边三角形的性质可得AC=CM，BNC=CN，再利用角的和差可得到∠ACN=BCM，可证明△ACN≌△MCB，可得∠ENC=∠FBC，由条件可得∠ECF=60°，可证明△CEN≌△CFB，可得CE=CF，可知△CEF为等边三角形．

解答： 证明：△CEF为等边三角形，证明如下：
∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴AC=MC，BC=CN，∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ACN=∠MCB=120°，
在△ACN和△MCB中，

AC=CM ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS），
∴∠ENC=∠FBC，
∵△ACM和△CBN是等边三角形，
∴∠MCA=∠NCB=60°，
∴∠ECF=180°-60°-60°=60°，
在△CEN和△CFB中，

∠ENC=∠FBC CN=CB ∠ECN=∠FCB

，
∴△CEN≌△CFB（ASA），
∴CE=CF，
∴△CEF为等边三角形．

点评：本题主要考查全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质和判定，掌握全等三角形和等边三角形的判定方法是解题的关键．