Question

2．（1）如图1，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM=ON，过点M、N分别作MP⊥OA、NP⊥OB，MP、NP交于P，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，延长PM到S，使MS=NF，连接OS．则∠EOF与∠EOS的数量关系为相等，线段NF、EM、EF的数量关系为EF=NF+EM；
（2）如图2，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM=ON，∠OMP+∠ONP=180°，E、F分别为线段MP、NP上的点，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，（1）中的线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，点M、N分别在∠AOB的边OA、OB上，且OM=ON，∠OMP+∠ONP=180°，E、F分别为线段PM、NP延长线上的点，且∠EOF=$\frac{1}{2}$∠AOB，（1）中线段NF、EM、EF的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）结论：相等，EF=FN+EM．先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
（2）结论：EF=FN+EM．如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．
（3）结论：EF=FN-EM．如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO，先证明△OMS≌△ONF，再证明△OES≌△OEF即可解决问题．

解答 解：（1）结论：相等，EF=FN+EM．
理由：如图1中，

在△OMS和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMS=∠ONF}\\{MS=FN}\end{array}\right.$，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=$\frac{1}{2}$∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠SOE=∠EOF}\\{OS=OF}\end{array}\right.$，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．
故答案为相等，EF=FN+EM．

（2）如图2中，延长EM到S，使得SM=FN，连接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMS=∠ONF}\\{MS=FN}\end{array}\right.$，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=$\frac{1}{2}$∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠SOE=∠EOF}\\{OS=OF}\end{array}\right.$，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM+EM=FN+EM．

（3）结论：EF=FN-EM．
理由：如图3中，延长ME到S，使得MS=FN，连接SO．

∵∠OMP+∠ONP=180°，∠OMS+∠OMP=180°，
∴∠OMS=∠ONF，
在△OMS和△ONF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OM=ON}\\{∠OMS=∠ONF}\\{MS=FN}\end{array}\right.$，
∴△OMS≌△ONF，
∴OS=OF，∠SOM=∠FON，
∵∠EOF=$\frac{1}{2}$∠MON=∠EOM+∠FON=∠EOM+∠SOM=∠SOE，
在△OES和△OEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OE=OE}\\{∠SOE=∠EOF}\\{OS=OF}\end{array}\right.$，
∴△OES≌△OEF，
∴EF=SE=SM-EM=FN-EM．

点评 本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形，属于中考常考题型．