Question

19．将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图所示的样式，给出下列结论：①AD•AE=DE•AB；②DF=EC；③∠BEA=∠DAC；④△BAE∽△CDA，其中正确的有①③④（填序号）

Answer 1

分析 ①证明△BAE∽△ADE即可得出，
②画图发现，DF和EC的长不确定，不一定相等；
③因为∠FAG=∠C=45°，所以根据外角定理得：∠BEA=45°+∠GAC，由角的和的关系得：∠DAC=45°+∠GAC，所以∠BEA=∠DAC；
④根据③中的结论加上一公共角，可得相似；

解答 解：①∵△ABC与△GAF是两块完全相同的等腰直角三角板，
∴∠B=∠DAE=45°，
∵∠BEA=∠AED，
∴△BAE∽△ADE，
∴AD：AB=DE：AE，
∴AD•AE=DE•AB；
故①正确；
②如图所示，EC不确定，根据旋转角度的不同，EC可能变长或变短，
∴DF不一定等于EC；
故②错误；
③∵∠BEA=∠C+∠GAC，
∵∠C=45°，
∴∠BEA=45°+∠GAC，
∵∠DAC=∠FAG+∠GAC，
∵∠FAG=45°，
∴∠DAC=45°+∠GAC，
∴∠BEA=∠DAC，
故③正确；
④∵∠BEA=∠DAC，∠B=∠C=45°
∴△BAE∽△CDA
故④正确；
所以正确的有：①③④；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了三角形相似的性质和判定、等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的每个锐角为45°，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角这一隐含条件，对于乘积式的判定，要先化成比例式，再确定两个三角形，证明其相似．