Question

2．如图，在△ABC中，AB=AC，点P是△ABC内一点，且∠APB=∠APC．求证：PB=PC．

Answer 1

分析 如图作AM⊥CO交CP的延长线于M，AN⊥BP交BP的延长线于N．由Rt△APM≌Rt△APN，推出PM=PN，由Rt△ABN≌Rt△ACM，推出BN=CM，可得PB=PC．

解答 证明：如图作AM⊥CO交CP的延长线于M，AN⊥BP交BP的延长线于N．

∵∠APB=∠APC，
∴∠APM=∠APN，
∵AM⊥PM，AN⊥PN，
∴AM=AN，
在Rt△△APM和Rt△APN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AP=AP}\\{AM=AN}\end{array}\right.$，
∴Rt△APM≌Rt△APN，
∴PM=PN，
在Rt△ABN和Rt△ACM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AC}\\{AN=AM}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABN≌Rt△ACM，
∴BN=CM，∵PN=PM，
∴PB=PC．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．